Games101-Ray-Tracing-Radiometry-L15

Ray Tracing - Basic radiometry（辐射度量学）

Introduction

辐射度量学可以提供光线的物理参数。包括：

• Measurement system and units for illumination
• Perform lighting calculations in a physically correct manner
• New terms: Radiant flux, intensity, irradiance, radiance（无准确中文翻译）

Basic Concepts

Radiant energy （电磁辐射能量）

Radiant energy is the energy of electromagnetic radiation.

$$Q[J(Joule)]$$

(Barely used in CG.)

Radiant flux (power) （辐射功率）

Radiant flux (power) is the energy emitted, reflected, transmitted or received, per unit time.

$$\phi=\frac{dQ}{dT}[W(Watt)/lm(lumen)]$$

其中流明（lumen，符号lm）是光通量的国际单位。

另可以定义为：photons flowing through a sensor in unit time，见下图。

Radiant Intensity

The radiant (luminous) intensity is the power per unit solid angle emitted by a point light source.

考虑的是光源在方向上的量度。

即：单位立体角的功率

$$I(\omega)\equiv\frac{d\phi}{d\omega}$$ $$[\frac{W}{sr} or \frac{lm}{sr}=cd=candela]$$

（单位的不同取决于是在热学范围内定义还是光学范围内定义）

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【复习：立体角 Solid angle】

$$\Omega=\frac{A}{r^2}$$

Sphere has $4\pi$ steradians.

单位立体角的计算：

$$dA=(rd\theta)(rsin\theta d\phi)r^2sin\theta d\theta d\phi$$ $$\Rightarrow d\omega=\frac{dA}{r^2}=sin\theta d\theta d\phi$$

因此可以用单位向量$\omega$去表示一个立体角。

对于此公式的理解：

$$1.微分立体角的大小和所处方位\theta有关，因此在极点和赤道处\theta和\phi的变化引起的立体角变化是不同的。 \\ 2.由上可知，\theta 和 \phi 对于球面面积的划分是不均匀的。$$

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Intensity具有的性质（根据定义）：

$$\phi= \int_{s^2} I {\rm d}\omega=4\pi I$$ $$\Rightarrow I = \frac{\phi}{4\pi}$$

Irradiance

Power per unit area incident on a surface point.

$$E(x)\equiv \frac{d\phi(x)}{dA} \\ Unit: [\frac{W}{m^2}]/[\frac{lm}{m^2}=lux]$$

注意！此处的面积其实指投影之后的面积。

通过irradiance的衰减可以解释点光源的强度呈现平方反比律衰减。

Radiance

Power emitted, reflected, transmitted or received by a surface, per unit solid angle, per projected unit area.

$$L(p,\omega)\equiv\frac{d^2 \Phi(p,\omega)}{d\omega dAcos\theta}$$ $$Unit: [\frac{W}{sr \space m^2}][\frac{cd}{m^2}=\frac{lm}{sr\space m^2}=nit]$$

要点：功率局限于一个很小的面，一个很小的角度范围

Radiance分为发出(Incident Radiance)和接受(Exiting Radiance)，实质相同

与之前概念的对比：

​ Radiance = Intensity per projected unit area

​ Radiance = Irradiance per solid angle

$$L(p,\omega)=\frac{dE(p)}{d\omega cos\theta}$$

​

Radiance和Irradiance的区别：方向性

​ Irradiance: total power received by area $dA$

​ Radiance: power received by area $d A$ from “direction” $d \omega$

​ Irradiance可以理解为来自各个方向Radiance的积分

Bidirectional Reflectance Distribution Function (BRDF，双向反射分布函数)

BRDF告诉我们从某个方向来的光线如何反射到另一方向去（即各个方向的能量分布）

Definition: Represents how much light is reflected into each outgoing direction from each incoming direction

$$f_r(\omega_i\rightarrow\omega_r)=\frac{dL_r(\omega_r)}{dE_i(\omega_i)}=\frac{dL_r(\omega_r)}{L_i(\omega_i)cos\theta d\omega_i}[\frac{1}{sr}]$$

通过BRDF可以定义不同的材质

Reflection Equation

$$L_r(p,\omega_r)=\int_{H^2}f_r(p,\omega_i\rightarrow\omega_r)L_i(p,\omega_i)cos\theta_id\omega_i$$

解释：计算一个出射方向的Radiance，需要对所有入射方向的Radiance计算BRDF然后求和。

Challenge：Recursive Equation

​ Reflected radiance depends on incoming radiance, But incoming radiance depends on reflected radiance (at

another point in the scene).

​ 即：由于光线在场景中反复弹射，会形成递归效应。

Rendering Equation

$$L_O(p,\omega_O)=L_e(p,\omega_O)+\int_{\Omega^+}L_i(p,\omega_i)f_r(p,\omega_i,\omega_O)(n\cdot\omega_i)d\omega_i$$

式子中假设所有向量都朝向外。

解释：某一点的光 = 自己辐射出的 + 其他地方反射过来的

地位：现代图形学（表面上的光线反射及传播）的基础

方程简化及理解

经过很多的简化步骤最后可以得到（简化的具体过程尚不清楚）

$$L=E+KL$$

形成了矩阵乘积（算子）的形式。

目的：利用矩阵求逆类似Taylor展开的性质得到：

$$L=E+KE+K^2E+K^3E+...$$

右侧依次代表直接照射、弹射一次、弹射两次、…的光照效果。

效果示意

1.相较于2次反射，为什么4次反射时图片上方的灯突然变亮了？

-有的物体需要光线在其中至少弹射若干次才能出来，如玻璃球至少弹射两次，此处的灯也是同理。

2.如果反射次数可以到达$\infty$，最后亮度会收敛还是发散？

-收敛。可从自然界和能量守恒的角度理解（自然界恒全局光照）

-但是如果考虑相机一直按住快门不放的情况，其亮度确实会不断增加而不收敛（这也印证了Radiometry中主要考虑单位时间内能量的想法是正确的）

概率论回顾

连续情况下：概率密度函数 Probability Distribution Function (PDF)

$$Conditions\space on\space p(x):\space p(x)\geq0\space and \int p(x)dx=1 \\ Expected\space value\space of\space x:E[X]=\int xp(x)dx \\ Expected\space value\space of\space a\space function\space of\space a\space random\space variable: E[Y]=E[f(X)]=\int f(x)p(x)dx$$

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